Φυσικοί αριθμοί

Επισκόπηση προηγούμενης Θ.Ενότητας Επισκόπηση επόμενης Θ.Ενότητας Πήγαινε κάτω

Φυσικοί αριθμοί

Δημοσίευση  likan Την / Το Κυρ 18 Μαϊος 2008 - 18:54

Αρχικά είχα ένα δίλημμα! Να γράψω στο Κεφ 1 : Πως μετράμε; ή στην Εισαγωγή που υπάρχει θέμα φυσικοί αριθμοί; Σύμφωνα με το βιβλίο υπάρχουν τρεις βασικές χρήσεις των αριθμών: α) Πληθικός αριθμός: π.χ. η παρέα μας αριθμεί πέντε μέλη β) συντεταγμένος αριθμός: π.χ. το τάδε βιβλίο βρίσκεται στη θέση 3 της βιβλιοθήκης γ) ο αριθμός ετικέτα: π.χ. αριθμός τηλεφώνου, δε μετρά τίποτα, αλλά ούτε περιγράφει κάποια θέση. Αναρωτιέμαι ποια ήταν η αρχική χρήση του αριθμού. Φαντάζομαι οι περισσότεροι πιστεύετε ότι ήταν η περίπτωση (α). Δεν είμαι και τόσο σίγουρος. Μήπως η έννοια του συντεταγμένου αριθμού προυπήρχε απ' αυτήν του πληθικού αριθμού; Μήπως πρώτα αντιληφθήκαμε τη θέση ενός αντικειμένου σε μία σειρά από αντικείμενα και έπειτα καταλάβαμε το πλήθος των αντικειμένων;
avatar
likan
Ισόπλευρο τρίγωνο
Ισόπλευρο τρίγωνο

Αριθμός μηνυμάτων : 87
Ημερομηνία εγγραφής : 29/04/2008
Ηλικία : 42
Τόπος : Κομοτηνή

Επισκόπηση του προφίλ των χρηστών http://apeironews.blogspot.com

Επιστροφή στην κορυφή Πήγαινε κάτω

Απ: Φυσικοί αριθμοί

Δημοσίευση  likan Την / Το Κυρ 18 Μαϊος 2008 - 19:08

Και κάτι ακόμα. Φαντάζομαι πως όλοι συμφωνούμε πως χωρίς τη γλώσσα είναι αδύνατο να μετρήσουμε. Αν δεν είχαμε ορίσει γλωσσικά το "ένα", το "δύο" κ.τ.λ. δε θα μπορούσαμε να αντιληφθούμε την έννοια "ένα", "δύο"... Επίσης, σημαντική είναι η διαδικασία της ένα προς ένα απεικόνισης. Μαθαίνουμε τη λέξη "ένα" αντιστοιχώντας σ' αυτό το πρώτο δάχτυλο του χεριού μας, αντιλαμβανόμαστε τη λέξη "δύο" αν αντιστοιχίσουμε σ' αυτή το δεύτερο δάχτυλο του χεριού μας κ.ο.κ. Όλα αυτά μοιάζουν αυτονόητα αλλά δε παύει να είναι βασικές διεργασίες του εγκεφάλου μας. Μήπως, όμως, πρώτα αντιλαμβανόμαστε ότι ο δείκτης μας βρίσκεται στην δεύτερη θέση του χεριού μας και έπειτα ότι το χέρι μας αποτελείται από πέντε δάχτυλα;
scratch
avatar
likan
Ισόπλευρο τρίγωνο
Ισόπλευρο τρίγωνο

Αριθμός μηνυμάτων : 87
Ημερομηνία εγγραφής : 29/04/2008
Ηλικία : 42
Τόπος : Κομοτηνή

Επισκόπηση του προφίλ των χρηστών http://apeironews.blogspot.com

Επιστροφή στην κορυφή Πήγαινε κάτω

Απ: Φυσικοί αριθμοί

Δημοσίευση  nina Την / Το Κυρ 18 Μαϊος 2008 - 20:10

likan έγραψε:
Και κάτι ακόμα. Φαντάζομαι πως όλοι συμφωνούμε πως χωρίς τη γλώσσα είναι αδύνατο να μετρήσουμε. Αν δεν είχαμε ορίσει γλωσσικά το "ένα", το "δύο" κ.τ.λ. δε θα μπορούσαμε να αντιληφθούμε την έννοια "ένα", "δύο"...
scratch

αυτό πώς το λες με τέτοια βεβαιότητα;
Ίσα ίσα που η αρίθμηση με διάφορους τρόπους -κλαδιά, χαρακιές, κόμπους...-δεν απαιτούσε καμιά απολύτως λέξη για να εκφράσει ένα πλήθος. Άρα εγώ τουλάχιστον διαφωνώ με τη θέση σου!
Αρχικά η "ένα προς ένα" αντιστοίχιση ενός πληθάριθμου με έναν "αριθμό" γίνεται ακριβώς μέσω μιας υλικής, ορατής οντότητας, βλέπε κλαδί π.χ. Ή τον Πολύφημο, από τον Όμηρο. Ήξερε άραγε λεκτικά τον αριθμό των προβάτων του ή απλά γνώριζε πως τα πρόβατα του είναι τόσα όσα τα χαλίκια που έβαζε στο πυθάρι του.
Για να προκύψει η αντιστοίχιση ενός πληθάριθμου με μια λέξη που εκφράζει έναν αριθμό έφτασε η ανθρωπότητα σε υψηλά επίπεδα αφαίρεσης που σημαίνει ότι δε γίνεται μόνο μια "ένα προς ένα" αντιστοίχιση άμεσα, αλλά γίνεται μια σειρά τέτοιων νοερών αντιστοιχίσεων. Γι' αυτό βλέπεις ακόμη ανθρώπους μη εξοικειωμένους με αριθμούς κι όχι κατ'ανάκγην τα μικρά παιδιά, να χρησιμοποιούν κρυφά ή φανερά τα δάχτυλα για την πρόσθεση...Δεν έχουν αναπτυγμένη αυτήν την ικανότητα των νοερών διαδοχικών απεικονίσεων και γι' αυτό χρησιμοποιούν την "υλική" παράσταση των δακτύλων τους.
avatar
nina
Κανονικό Εξάγωνο
Κανονικό Εξάγωνο

Αριθμός μηνυμάτων : 264
Ημερομηνία εγγραφής : 28/04/2008
Ηλικία : 54
Τόπος : ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Επισκόπηση του προφίλ των χρηστών http://mathandliterature.blogspot.com

Επιστροφή στην κορυφή Πήγαινε κάτω

Φυσικοί αριθμοί

Δημοσίευση  sosta Την / Το Κυρ 18 Μαϊος 2008 - 23:20

Ίσως σκεφτόμαστε λάθος , πάντα πιστεύουμε ότι υπάρχει μια αρχή επηρεασμένοι από τον φυσικό κόσμο. Ας κάνουμε μια αντιστοίχηση : Θέλουμε να ερευνήσουμε την προέλευση ( γέννηση … ωρίμανση ) των μαθηματικών γνώσεων ενός ανθρώπου . Αρχίζουμε να σκαλίζουμε το παρελθόν του από τις πρώτες γραμμές πριν ωριμάσει έως τις σημειώσεις του , τις εργασίες του όταν μεγαλώσει ..... Πουθενά δε φαίνεται ο δάσκαλος . Βάλτε τώρα στη λέξη άνθρωπος τη λέξει πολιτισμός .
avatar
sosta
Σημείο
Σημείο

Αριθμός μηνυμάτων : 13
Ημερομηνία εγγραφής : 08/05/2008
Ηλικία : 52
Τόπος : Κομοτηνή

Επισκόπηση του προφίλ των χρηστών

Επιστροφή στην κορυφή Πήγαινε κάτω

Απ: Φυσικοί αριθμοί

Δημοσίευση  nina Την / Το Δευ 19 Μαϊος 2008 - 8:21

likan έγραψε:
Και κάτι ακόμα. Φαντάζομαι πως όλοι συμφωνούμε πως χωρίς τη γλώσσα είναι αδύνατο να μετρήσουμε. Αν δεν είχαμε ορίσει γλωσσικά το "ένα", το "δύο" κ.τ.λ. δε θα μπορούσαμε να αντιληφθούμε την έννοια "ένα", "δύο"... Επίσης, σημαντική είναι η διαδικασία της ένα προς ένα απεικόνισης. Μαθαίνουμε τη λέξη "ένα" αντιστοιχώντας σ' αυτό το πρώτο δάχτυλο του χεριού μας, αντιλαμβανόμαστε τη λέξη "δύο" αν αντιστοιχίσουμε σ' αυτή το δεύτερο δάχτυλο του χεριού μας κ.ο.κ. Όλα αυτά μοιάζουν αυτονόητα αλλά δε παύει να είναι βασικές διεργασίες του εγκεφάλου μας. Μήπως, όμως, πρώτα αντιλαμβανόμαστε ότι ο δείκτης μας βρίσκεται στην δεύτερη θέση του χεριού μας και έπειτα ότι το χέρι μας αποτελείται από πέντε δάχτυλα;
scratch

"Πότε τελικά αποφάσισαν οι άνθρωποι να προσδιορίσουν τους αριθμούς με λέξεις αντί να χρησιμοποιούν κλαδιά, κοχύλια ή πέτρες; Πιθανόν όχι νωρίτερα από εκατό χιλιάδες χρόνια πριν, αφού τότε εμφανίστηκε πρώτη φορά η γρήγορη φωνητική γλώσσα." σελίδα 50, στον Ταξευτή

Άρα η αρίθμηση ως δραστηριότητα προηγείται της λεκτικής επικοινωνίας μέσω μιας φωνητικής/λεκτικής γλώσσας.
γενικά ο C. CLAWSON κάνει τις εικασίες του κι ύστερα τις κάνει εκ νέου παραθέτοντας καινούρια στοιχεία...
avatar
nina
Κανονικό Εξάγωνο
Κανονικό Εξάγωνο

Αριθμός μηνυμάτων : 264
Ημερομηνία εγγραφής : 28/04/2008
Ηλικία : 54
Τόπος : ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Επισκόπηση του προφίλ των χρηστών http://mathandliterature.blogspot.com

Επιστροφή στην κορυφή Πήγαινε κάτω

Απ: Φυσικοί αριθμοί

Δημοσίευση  koukws Την / Το Δευ 19 Μαϊος 2008 - 12:48

Καταρχήν να ζητήσω συγνώμη για την "απουσία μου, αλλά έχω πολύ φορτομένο πρόγραμμα λόγο των εξετάσεων. Το βιβλίο δεν το έχω πάρει ακόμη, καθώς σε 3 βιβλιοπωλεία δεν το είχαν, αλλά θα μου το φέρουν μάλλον σήμερα...

likan έγραψε:
Και κάτι ακόμα. Φαντάζομαι πως όλοι συμφωνούμε πως χωρίς τη γλώσσα είναι αδύνατο να μετρήσουμε. Αν δεν είχαμε ορίσει γλωσσικά το "ένα", το "δύο" κ.τ.λ. δε θα μπορούσαμε να αντιληφθούμε την έννοια "ένα", "δύο"... Επίσης, σημαντική είναι η διαδικασία της ένα προς ένα απεικόνισης. Μαθαίνουμε τη λέξη "ένα" αντιστοιχώντας σ' αυτό το πρώτο δάχτυλο του χεριού μας, αντιλαμβανόμαστε τη λέξη "δύο" αν αντιστοιχίσουμε σ' αυτή το δεύτερο δάχτυλο του χεριού μας κ.ο.κ. Όλα αυτά μοιάζουν αυτονόητα αλλά δε παύει να είναι βασικές διεργασίες του εγκεφάλου μας. Μήπως, όμως, πρώτα αντιλαμβανόμαστε ότι ο δείκτης μας βρίσκεται στην δεύτερη θέση του χεριού μας και έπειτα ότι το χέρι μας αποτελείται από πέντε δάχτυλα;
scratch

likan, ούτε κι εγώ συμφωνώ με αυτή την άποψη. Άλλωστε, για να "φτιάξουμε" μια λέξη, πρέπει να υπάρχει κάτι στο οποίο να αναφέρεται η λέξη αυτή. Η ανάγκη επομένως να αναφερθούμε σε "ένα", "δύο", ή "πολλά" αντικείμενα, οδήγησε στη "δημιουργία" των λέξεων "ένα", "δύο" και "πολλά".
Επίσης, για να πούμε πως ο δείκτης μας βρίσκεται στη δεύτερη θέση του χεριού μας, τι παραδοχές κάνουμε? Γιατί στο αριστερό μας χέρι μετράμε τα δάχτυλα από αριστερά προς τα δεξιά, ενώ στο δεξί... από δεξιά προς τα αριστερά? Κατά πόσο είναι σωστή αυτή η μέτρηση "μαθηματικά"? Ποιος είναι ο μαθηματικά ορθός τρόπος αρίθμησης των δακτύλων?
Για το δεύτερο ερώτημα, μόλις σκέφτηκα μια ίσως λίγο χαζή -αλλά και όμορφη- απάντηση, βλέποντας τα χέρια μου πάνω στο πληκτρολόγιο. Ονόμασα τον δεξιό αντίχειρα ως 1, τον δεξιό δείκτη ως 2 κ.ο.κ. ενώ τον αριστερό αντίχειρα ως -1, τον αριστερό δείκτη ως -2... Wink Βρισκόμαστε όμως στους φυσικούς αριθμούς, και αυτή η μέτρηση δεν είναι καθόλου παραδεκτή... Είναι όμως ένας -ο μόνος ίσως- παραδεκτός τρόπος, ώστε να βρίσκονται οι δείκτες και των δυο χεριών στη θέση |2|
avatar
koukws
Ευθύγραμμο τμήμα
Ευθύγραμμο τμήμα

Αριθμός μηνυμάτων : 52
Ημερομηνία εγγραφής : 28/04/2008
Ηλικία : 35
Τόπος : Θεσσαλονίκη

Επισκόπηση του προφίλ των χρηστών http://www.koukws.blogspot.com

Επιστροφή στην κορυφή Πήγαινε κάτω

Απ: Φυσικοί αριθμοί

Δημοσίευση  tsimuha kamikazi Την / Το Δευ 19 Μαϊος 2008 - 13:50

koukws έγραψε: Ονόμασα τον δεξιό αντίχειρα ως 1, τον δεξιό δείκτη ως 2 κ.ο.κ. ενώ τον αριστερό αντίχειρα ως -1, τον αριστερό δείκτη ως -2... Wink Βρισκόμαστε όμως στους φυσικούς αριθμούς, και αυτή η μέτρηση δεν είναι καθόλου παραδεκτή... Είναι όμως ένας -ο μόνος ίσως- παραδεκτός τρόπος, ώστε να βρίσκονται οι δείκτες και των δυο χεριών στη θέση |2|

Πολύ μου αρεσε αυτό !
αλλά... το μηδέν? που είναι το μηδέν ?

tsimuha kamikazi
Τετράγωνο
Τετράγωνο

Αριθμός μηνυμάτων : 100
Ημερομηνία εγγραφής : 28/04/2008
Ηλικία : 33

Επισκόπηση του προφίλ των χρηστών http://flatland.team-talk.net

Επιστροφή στην κορυφή Πήγαινε κάτω

Απ: Φυσικοί αριθμοί

Δημοσίευση  nina Την / Το Δευ 19 Μαϊος 2008 - 13:57

τελικά koukws δεν παίζεσαι!

Από ότι θυμάμαι παρατηρώντας τα δάκτυλά σου, ενώ μιλούσες με το κορίτσι σου στο τηλέφωνο, βρήκες την απάντηση κσι στο γρίφο με την ακολουθία που παραθέτει ο Γκιγιέρμο Μαρτίνες στην "Ακολουθία της Οξφόρδης"!
Τώρα παρατηρώντας τα δάκτυλά σου για μιαν ακόμη φορά ανακάλυψες τους ακέραιους!
Θα σου πρότεινα να συνεχίσεις να παρατηρείς τα δάχτυλά σου, γιατί φαίνεται πως αποτελούν για σένα πηγή έμπνευσης και δεν αστειεύομαι καθόλου.

φιλιά και κουράγιο με τις εξετάσεις που όπως φαίνεται τις αντιμετωπίζεις με μεράκι και σοβαρότητα.
θεία Νίνα

Υ.Γ. Πώς πήγε η συνάντηση με τον Γυμνασιάρχη?
avatar
nina
Κανονικό Εξάγωνο
Κανονικό Εξάγωνο

Αριθμός μηνυμάτων : 264
Ημερομηνία εγγραφής : 28/04/2008
Ηλικία : 54
Τόπος : ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Επισκόπηση του προφίλ των χρηστών http://mathandliterature.blogspot.com

Επιστροφή στην κορυφή Πήγαινε κάτω

Απ: Φυσικοί αριθμοί

Δημοσίευση  nina Την / Το Δευ 19 Μαϊος 2008 - 14:06

πολύ βιάζεσαι αγαπητή μου admin να ανακαλύψεις το μηδέν!

Δε χρειάζεται να βιαζόμαστε. Τόσους αιώνες κατάφεραν οι άνθρωποι με ποικίλα τεχνάσματα κι όχι πάντα αποτελεσματικά να πορεύονται χωρίς το σούνια (=κενό, στα ινδικά το μηδέν) κι εσύ θέλεις ο koukws να το βρει με την πρώτη!
Νομίζω πως αν παρατηρήσει λίγο ακόμη τα δάχτυλά του θα ανακαλύψει κι άλλα

πολλά φιλιά
σε περιμένουμε
avatar
nina
Κανονικό Εξάγωνο
Κανονικό Εξάγωνο

Αριθμός μηνυμάτων : 264
Ημερομηνία εγγραφής : 28/04/2008
Ηλικία : 54
Τόπος : ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Επισκόπηση του προφίλ των χρηστών http://mathandliterature.blogspot.com

Επιστροφή στην κορυφή Πήγαινε κάτω

ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΜΗΔΕΝ ΟΕΟ?

Δημοσίευση  likan Την / Το Δευ 19 Μαϊος 2008 - 17:38

Μπορούμε να τοποθετήσουμε το μηδέν απλά στο κενό ανάμεσα στους δύο αντίχειρες του koukws Exclamation Ένας ολόκληρος κόσμος γεννιέται... Κυρίαρχο το μηδέν (που παίζει το ρόλο του κενού). Παρατηρήστε πως ισχύουν όλοι οι κανόνες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών με το μηδέν. Π.χ. o δεξιός δείκτης (του koukws και όχι δικός μου) + το κενό ανάμεσα στους δύο αντίχειρες (δηλ 2 + 0) = έναν δείκτη (του koukws πάντα Smile ) (δηλ 2). Βέβαια δεν είναι εύκολο να προσθέσουμε 2 + 1 (δείκτης + αντίχειρας) καθώς θα προκύψει ένα νέο δάχτυλο (ας το ονομάσω αντιχειροδείκτης) που προφανώς δεν είναι καν στοιχείο της νέας μας άλγεβρας . alien Αντίθετα, όταν προσθέσω δύο φυσικούς αριθμούς, βρίσκω πάντα έναν φυσικό αριθμό. Μία νέα άλγεβρα γεννιέται, μία άλγεβρα της επιθυμίας (του koukws) drunken Πάντως πέρα από την πλάκα μου άρεσε η ιδέα του koukws
avatar
likan
Ισόπλευρο τρίγωνο
Ισόπλευρο τρίγωνο

Αριθμός μηνυμάτων : 87
Ημερομηνία εγγραφής : 29/04/2008
Ηλικία : 42
Τόπος : Κομοτηνή

Επισκόπηση του προφίλ των χρηστών http://apeironews.blogspot.com

Επιστροφή στην κορυφή Πήγαινε κάτω

Απ: Φυσικοί αριθμοί

Δημοσίευση  nina Την / Το Δευ 19 Μαϊος 2008 - 20:08

κι εμένα, πολυαγαπημένα μου ανηψούδια, μου αρέσει πολύ που έχετε τόσο ζήλο κι τέτοιον άκρατο ενθουσιασμό!
Παρόλο που παρακάλεσα και την admin να δείξει μια κάποια καρτερικότητα και... να μην ασχοληθεί αμέσως με το μηδέν, εσύ likan έσπευσες να το βάλεις κι αυτό στο παιχνίδι. Και μάλιστα το έβαλες και στη σωστή θέση! Ακριβώς στο κενό. Μπράβο σου και μπράβο σε όλους σας!

Αλλά, αν τα πούμε όλα στα πρώτα επισόδεια πως θα κρατήσουμε το ενδιαφέρον;
Όμως πιστεύω πως δεν πρέπει να ανησυχώ. Εσας σας έχω ικανά με τη φόρα που πήρατε να
ΑΝΑΘΕΜΕΛΙΩΣΕΤΕ ΟΛΟ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΟΙΚΟΔΟΜΗΜΑ!!!
avatar
nina
Κανονικό Εξάγωνο
Κανονικό Εξάγωνο

Αριθμός μηνυμάτων : 264
Ημερομηνία εγγραφής : 28/04/2008
Ηλικία : 54
Τόπος : ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Επισκόπηση του προφίλ των χρηστών http://mathandliterature.blogspot.com

Επιστροφή στην κορυφή Πήγαινε κάτω

Απ: Φυσικοί αριθμοί

Δημοσίευση  koukws Την / Το Τρι 20 Μαϊος 2008 - 10:32

nina έγραψε:τελικά koukws δεν παίζεσαι!

Από ότι θυμάμαι παρατηρώντας τα δάκτυλά σου, ενώ μιλούσες με το κορίτσι σου στο τηλέφωνο, βρήκες την απάντηση κσι στο γρίφο με την ακολουθία που παραθέτει ο Γκιγιέρμο Μαρτίνες στην "Ακολουθία της Οξφόρδης"!
Τώρα παρατηρώντας τα δάκτυλά σου για μιαν ακόμη φορά ανακάλυψες τους ακέραιους!
Θα σου πρότεινα να συνεχίσεις να παρατηρείς τα δάχτυλά σου, γιατί φαίνεται πως αποτελούν για σένα πηγή έμπνευσης και δεν αστειεύομαι καθόλου.
θεία Νίνα

Θεία μου... ανακαλύπτει όποιος ψάχνει. Κι επειδή εμείς οι άνθρωποι ψάχνουμε με τα χέρια... ε, δε θέλει και πολύ! lol! Ίσως να είναι και το άλλο. Την πρώτη φορά που αναφέρεις, μιλούσα στο τηλ. ενώ χθες, "μιλούσα" μαζί σας. Επομένως... ίσως η επικοινωνία να είναι αυτή που τελικά αποτελεί "πηγή έμπνευσης". Άλλωστε και ο θείος Πέτρος κάπου εκεί δεν την πάτησε?
Όταν ορίσουμε και τον άξονα y'y, θα σου πω και την εξίσωση της παραβολής που σχηματίζουν τα δάχτυλά μου κάθε φορά που πιάνω το mouse Wink

Admin, σκέφτηκα τη θέση του μηδέν, όπως ακριβώς την όρισε ο likan. Βέβαια έκανα το τρομερό σφάλμα των λογικών αλμάτων, εφόσων -πόσο τραγικά άπειρος που είμαι!!! Embarassed - το θεώρησα δεδομένο.

Θείε likan, στην άλγεβρά μου ισχύουν ο εξής κανόνας. Αν προσθέσουμε δυο δάχτυλα, το αποτέλεσμα θα είναι ένα τρίτο δάχτυλο! Π.χ. αντίχειρας+δείκτης=μέσος. Το ίδιο δεν γίνεται και με τους φυσικούς? 1+2 δεν κάνει "έναδύο" αλλά 3, δηλαδή έναν "καινούριο" φυσικό. Τώρα, ή παραμένει mod5 η άλγεβρά μου, ή βάλε δίπλα και τα δικά σου δάχτυλα, να γίνει mod10, και να την ονομάσουμε "μόντουλοδεκαδικό σύστημα αρίθμησης δακτύλων" alien

Αυτή η "χιουμοριστική" διάθεση, υπάρχει πάντα σε τέτοιες περιόδους. Είναι ο μόνος τρόπος ίσως να φύγει για λίγο το άγχος.
avatar
koukws
Ευθύγραμμο τμήμα
Ευθύγραμμο τμήμα

Αριθμός μηνυμάτων : 52
Ημερομηνία εγγραφής : 28/04/2008
Ηλικία : 35
Τόπος : Θεσσαλονίκη

Επισκόπηση του προφίλ των χρηστών http://www.koukws.blogspot.com

Επιστροφή στην κορυφή Πήγαινε κάτω

Επισκόπηση προηγούμενης Θ.Ενότητας Επισκόπηση επόμενης Θ.Ενότητας Επιστροφή στην κορυφή


 
Δικαιώματα σας στην κατηγορία αυτή
Δεν μπορείτε να απαντήσετε στα Θέματα αυτής της Δ.Συζήτησης